Symmetric semi-invariants of parabolic contractions
Semi-invariants symétriques de contractions paraboliques
Résumé
Let k be a Lie algebra, and Y(k)=S(k)^k the algebra of invariants of S(k) for the adjoint representation of k. In invariant theory, one of long-standing questions is to know whether Y(k) is polynomial or not. Some positive results exist (if k is reductive, thanks to Chevalley). Negative results also exist (counterexamples if k is the centraliser of a nilpotent element in a reductive Lie algebra, by Yakimova in type E_8 and by Charbonnel and Moreau in type D_7).Define then the algebra of semi-invariants Sy(k) as the algebra generated by the elements of S(k) for which the adjoint representation acts homothetically. In the same way as before, the question of the polynomiality of Sy(k) arises. For the moment, this question has few answers (Fauquant-Millet and Joseph proved Sy(k) is polynomial if k is a biparabolic Lie subalgebra in type A or C).Another case is when k=q is a parabolic contraction, that is a contraction of a reductive Lie subalgebra g by a parabolic Lie subalgebra p. If g is simple of type A or C, or if p is a Borel subalgebra, or in certain cases of parabolic contractions with g of type B, Panyushev and Yakimova have shown that Y(k) is polynomial. Yakimova has also shown that Sy(q) is polynomial when p is a Borel subalgebra.In my thesis, I study the polynomiality of Sy(q) when q is a parabolic contraction in type A or C. Using Panyushev and Yakimova's results, I prove the polynomiality of Sy(q) in type A in some cases in type C, but I prove that Sy(q) is not polynomial in type C in general.
Soit k une algèbre de Lie, et Y(k)=S(k)^k l'algèbre des invariants de S(k) pour la représentation adjointe de k. En théorie des invariants, une des interrogations de longue date est de savoir si Y(k) est polynomiale ou non. Des résultats positifs existent (si k est réductif, grâce à Chevalley). Des résultats négatifs existent aussi (des contre-exemples si k est le centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie réductive, par Yakimova en type E_8 et par Charbonnel et Moreau en type D_7).On définit alors l'algèbre des semi-invariants Sy(k) comme l'algèbre engendrée par les éléments de S(k) pour lesquels la représentation adjointe agit de manière homothétique. De la même manière se pose la question de la polynomialité de Sy(k). Cette question a pour l'instant peu de réponses (Fauquant-Millet et Joseph ont obtenu la polynomialité si k est une sous-algèbre biparabolique en type A ou C).Un autre cas est celui où k=q est une contraction parabolique, c'est-à-dire une contraction d'une sous-algèbre de Lie réductive g par une sous-algèbre de Lie parabolique p. Dans les cas où g est simple de type A ou C, ou bien si p est une sous-algèbre de Borel, ainsi que dans certains cas de contractions paraboliques avec g de type B, Panyushev et Yakimova ont montré que Y(k) est polynomiale. Yakimova a également montré la polynomialité de Sy(q) lorsque p est une sous-algèbre de Borel.Dans ma thèse, j'étudie la polynomialité de Sy(q) lorsque q est une contraction parabolique en type A ou C. En utilisant les résultats de Panyushev et Yakimova, j'obtiens la polynomialité de Sy(q) en type A et dans certains cas en type C, mais conclus à la non-polynomialité en type C en général.
Origine : Version validée par le jury (STAR)