On the large scale geometry of semisimple groups : vanishing and non-vanishing of L^p-cohomology of Archimedean and non-Archimedean groups

Sur la géométrie à grande échelle des groupes semi-simples : annulation et non annulation de la cohomologie L^p des groupes archimédiens et non archimédiens

Antonio López Neumann (1)

1 CMLS - Centre de Mathématiques Laurent Schwartz

This thesis deals with large scale geometric invariants in Lie theory. More precisely, we study an invariant of cohomological nature called L^p-cohomology (where p>1) that gives quasi-isometry invariants in different settings and generalizes L^2-cohomology. We are interested in computing L^p-cohomology for semisimple groups over local fields (both Archimedean and non-Archimedean) and different types of buildings. The manuscript is divided into four chapters. The first introduces the concepts on Lie theory, group cohomology and L^p-cohomology that will be needed in subsequent chapters. The second reproduces the preprint "Vanishing of the second L^p-cohomology group for most higher rank semisimple Lie groups". Its main result is vanishing of L^p-cohomology in degree 2 for most semisimple groups over local fields of split rank at least 3. The third reproduces the preprint "Top degree l^p-homology and conformal dimension of buildings". In it, we study top degree ell^p-homology of buildings, its relation with other invariants such as virtual cohomological dimension of Coxeter groups and conformal dimension of Gromov-hyperbolic buildings. The fourth reproduces the article "Finitely presented simple groups and measure equivalence", where, using L^2-Betti numbers of groups acting on products of buildings, we exhibit a first family of finitely presented simple groups that lie in infinitely many measure equivalence classes.

Cette thèse s'intéresse à des invariants de géométrie à grande échelle en théorie de Lie. On étudie notamment un invariant de nature cohomologique : la cohomologie L^p (où p>1), qui donne des invariants de quasi-isométrie dans divers contextes et généralise la cohomologie L^2. On s'intéresse à la calculer dans le cas des groupes semi-simples sur des corps locaux (archimédiens ou pas) et pour différents types d'immeubles. Ce manuscrit comporte quatre chapitres. Le premier introduit les concepts de théorie de Lie, cohomologie des groupes et cohomologie L^p nécessaires dans les chapitres suivants. Le deuxième reproduit la prépublication "Vanishing of the second L^p-cohomology group for most higher rank semisimple Lie groups". Le résultat principal est l'annulation de la cohomologie L^p en degré 2 pour la plupart des groupes semi-simples de rang au moins 3 sur des corps locaux. Le troisième reproduit la prépublication "Top degree l^p-homology and conformal dimension of buildings". On étudie l'homologie l^p en degré maximal des immeubles, sa relation avec d'autres invariants tels que la dimension cohomologique virtuelle des groupes de Coxeter et la dimension conforme des immeubles hyperboliques au sens de Gromov. Le quatrième reproduit l'article "Finitely presented simple groups and measure equivalence" où, à l'aide des nombres de Betti L^2 de groupes agissant sur des produits d'immeubles, on explicite une famille infinie de groupes simples de présentation finie non mesurablement équivalents.

Mots clés: L^p-Cohomology; Lie groups; Buildings; Quasi-Isometry; Measure equivalence

Mots clés: Cohomologie L^p; Groupes de Lie; Immeubles; Quasi-Isométrie; Équivalence mesurable

Domaines: Théorie des groupes [math.GR]

Antonio López Neumann. On the large scale geometry of semisimple groups : vanishing and non-vanishing of L^p-cohomology of Archimedean and non-Archimedean groups. Group Theory [math.GR]. Institut Polytechnique de Paris, 2023. English. ⟨NNT : 2023IPPAX047⟩. ⟨tel-04482220⟩